微分方程
电气部分
电气部分可通过以下方程描述：
\[V(t) = L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) + E(t)\]其中：
- $V(t)$ 是施加在电机上的输入电压（V）。
- $L$ 是电机电感（H）。
- $R$ 是电阻（Ω）。
- $i(t)$ 是电机电流（A）。
- $E(t)$ 是反电动势（V），且 $E(t) = K_e \omega(t)$。
- $K_e$ 是电动势常数（V·s/rad）。
- $\omega(t)$ 是电机的角速度（rad/s）。
机械部分
机械部分可以用下列方程描述：
\[J \frac{d\omega(t)}{dt} + B\omega(t) = T(t) = K_t i(t)\]其中：
- $J$ 是转动惯量（kg·m²）。
- $B$ 是摩擦系数（N·m·s）。
- $T(t)$ 是电机产生的转矩（N·m）。
- $K_t$ 是转矩常数（N·m/A）。
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传递函数
为了得到系统的传递函数，我们需要对上述方程进行拉普拉斯变换。假设初始条件为零。
电气部分的拉普拉斯变换
对电气部分的方程进行拉普拉斯变换：
\[V(s) = LsI(s) + RI(s) + K_e \Omega(s)\]其中，$I(s)$ 是电流的拉普拉斯变换，$\Omega(s)$ 是角速度的拉普拉斯变换。
将上述方程整理得到：
\[I(s) = \frac{V(s) - K_e \Omega(s)}{Ls + R}\]机械部分的拉普拉斯变换
对机械部分的方程进行拉普拉斯变换：
\[Js\Omega(s) + B\Omega(s) = K_t I(s)\]将电流 $I(s)$ 代入上述方程：
\[\Omega(s)\left(Js + B\right) = K_t \frac{V(s) - K_e \Omega(s)}{Ls + R}\]整理并求解 $\Omega(s)$ 得到：
\[\Omega(s)\left[\left(Js + B\right)(Ls + R) + K_t K_e\right] = K_t V(s)\]最终得出角速度对输入电压的传递函数 $G(s) = \frac{\Omega(s)}{V(s)}$：
\[G(s) = \frac{K_t}{(Js + B)(Ls + R) + K_t K_e}\]两个时间常数
将传递函数整理：
\[G(s) = \frac{1/K_e}{\frac{JLs^2}{K_tK_e} + \frac{JRs}{K_tK_e} + 1}\]令$\tau_m = \frac{RJ}{K_eK_t}$ (机电1时间常数) ,$\tau_e = \frac{L}{R}$(电磁时间常数)
一般情况下，电感L很小，因此电磁时间常数可以被忽略，$\tau_m>10\tau_e$
\[\begin{aligned}\therefore G(s) &= \frac{1/K_e}{\tau_m\tau_es^2+\tau_ms+1}\\ &=\frac{1/K_e}{(\tau_ms+1)(\tau_es+1)}\\ \end{aligned}\]模型最终可近似为：
\[\frac{W(s)}{U(s)} = \frac{1/K_e}{\tau_ms+1}\]拉普拉斯逆变换后是原始微分方程
\[\tau_m \frac{d\omega(t)}{dt} + \omega(t) = \frac{1}{K_e} u(t)\]