前言
最近在学机器人机构学基础的时候遇到了旋量这个概念，开始没搞懂，查了一些资料之后有了一点理解，在此记录。
定义和简单描述
根据Ball的定义：旋量是一条有截距的直线
根据我的理解，旋量就是来描述空间坐标的一个螺钉。旋量本质上是一个含有六个元素的矢量。假设来描述一个空间中的一个线段，可以采用这样的方法：首先确定线段的一个端点在空间中的一个位置：（a,b,c），然后再确定线段的方向和大小即可。后者同样使用三个标量即可描述。因此总计需要六个标量即可描述一个线段再空间中的形位。旋量的思想与之类似。
定义一个旋量：
\[\$ = (s;s^0)\]$ s $ 为旋量的原部， $ s^0 $ 为旋量的对偶部， $ s $ 是一个单位矢量，即 $ |s| = 1 $ 。这里可以看到，由于单位矢量的约束，使得旋量描述的自由度失去了一个。这是为什么呢？
是因为旋量的描述不和线段在空间中的描述一样，旋量描述的量可以理解为一个螺旋线在空间中的形位。而螺旋线的起点和终点是不存在的，这与线段不同。但相同的是，螺旋线的方向、位置和大小都需要描述。这个思想在后面的公式推导中会有体现。
这样，$s$负责的任务就是描述这跟螺旋线的方向，即若将它的轴平移到与原点相交，$s$就是这跟轴方向上的的单位矢量。
这样，剩下的三个元素需要负责描述的就是这些了：螺旋线在空间中的位置、螺旋的形态。这里面，螺旋的形态就是指螺旋线旋转的有多厉害，通过一个量来表述：$h$旋量的节距（Pitch）。而描述螺旋线位置的量便是通过一个可变矢量来表述：$\vec{r}$矢径。之所以说他是可变的，是因为在描述这个螺旋线的位置过程中，来描述它轴线上任意一点的位置就可以确定其本身的位置了。因此，矢径中有三个元素，却有两个自由度。加上节距h就可以完整描述旋量的形位。
涉及到如何将位置和节距同时放到一个含三个元素的$s_0$中的是一个公式：
\[s^0 = \vec{r}\times s + hs\]各个物理量描述
- h ：节距，单位是长度，$h = s \cdot s^0$
- hs：螺距，是描述方向和大小的矢量
- $\vec {r}$：矢径，原点到旋量轴线上任一点的矢量，$\vec{r} = s\times s^0$
- $s_0$:线距，线距，单位是长度，$s_0 = \vec{r}\times s$
运动副描述
在机器人机构学中，旋量被定义用来描述运动副。
假设通过一个运动副，空间中与运动副的运动部分固连的刚体可以完成两中形态的运动：转动和移动，由理论力学可以知道：刚体任意运动在某一时刻都有一个速度瞬心，而经过该速度瞬心存在一条直线，可以将刚体的运动分解为绕直线的转动和沿直线的移动。这条直线即为轴。而运动副就是来确定这跟轴的形位的。也即：运动副约束了刚体的运动。因此，运动副具有螺旋的特性，可以用旋量来描述
下面分几种情况讨论：
- 当节距$h = 0$时，螺旋线沿轴无法运动，退化成了一个圆周运动，可以描述一个旋转副。旋量退化成了线矢量，也即描述了一条直线，这条直线就是旋转轴。
- 当节距$h = \infty$时,螺旋线的节距无限大，沿着螺旋线运动永远得不到转动，这样便退化成了一个直线运动，可以描述一个直线运动。旋量退化成了一个单位偶量，也是描述了一条线，就是移动副的轴线。
- 当h有限且不为0时，运动副为螺旋副，是移动和转动的耦合运动，一般应该用的不多。
严格公式推导
描述空间中一点$p$的速度$\dot p$，可以分解为绕空间中一轴旋转的速度$\omega$和沿轴运动速度$h\omega$
因此
\[\dot p = \vec\omega \times\vec{r} + h\vec\omega = \vec\omega \times\vec{p} + h\vec\omega\]设$\hat\omega$为
\[\left( \begin{matrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{matrix} \right)\]这样，
\[\vec\omega \times \vec p = \hat \omega \times \vec p\]当轴不经过原点时，设轴经过一点q，q的位置为$\vec q$，则
\[\dot p = \hat\omega \times(\vec{p}-\vec q) + h\vec\omega\]将矩阵扩展：
\[\left( \begin{matrix} \dot p\\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \hat \omega & -\vec\omega\times q + h\vec\omega\\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \times\left( \begin{matrix} p\\ 1 \end{matrix} \right)\]可以写成一阶常微分方程： \(\dot p = \hat \epsilon\times p\)
解为
\[\bar p(t) = e^{\hat\epsilon t}\bar p(0)\]$t = \frac{\theta}{\omega}$,令$\omega = 1$,则$t = \theta$
这样，物体运动就被描述出来了
\[\bar p(t) = e^{\hat\epsilon \theta}\bar p(0)\]下面，讨论$e^{\hat\epsilon \theta}$。由泰勒公式，将其展开（不写了）
\[\epsilon = \left( \begin{matrix} \hat \omega & -\vec\omega\times q + h\vec\omega\\ 0 & 0 \end{matrix} \right)\]因为$ | | \omega | | = 1$,$\hat\omega\times\vec\omega = 0$,所以$\epsilon^2 = -\epsilon^4$(不太懂)
再利用泰勒公式将无穷级数化为sin与cos的形式，得
\[e^{\hat\epsilon \theta} = I + \hat\epsilon\theta + \hat\epsilon^2(1-cos(\theta)) + \hat\epsilon^3(\theta-sin(\theta))\] \[\hat\epsilon = \left( \begin{matrix} 0 & -\omega_z & \omega_y & v_x\\ \omega_z & 0 & -\omega_x & v_y\\ -\omega_y & \omega_x & 0 & v_z\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)\]旋量形式为
\[\epsilon = \left( \begin{matrix} \omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\\ v_x\\ v_y\\ v_z \end{matrix} \right)\]