旋量理论基础
矩阵方面基本都是线代的内容。只写一部分吧
特征值和特征向量：$Ax=\lambda x$
若矩阵满足$A^TA=AA^T=I$就是正交阵；正定阵就是特征值全大于0；
当$A$和$B$全是方阵，存在可逆阵$P$满足：$B=PAP^{-1}$，则$B$是$A$的相似阵。该变换为相似变换
矩阵指数（就是泰勒展开）: \(\exp(A)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}=I+A+\frac{1}{2!}A^2+...+\frac{1}{n!}A^n+...\)
雅可比：$J=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$，$\delta X=J(q)\delta q$
旋量：$\xi=(s,s_0)^T=(s,r\times s+hs)=(L,M,N,P,Q,R)$ 单位旋量：$\hat S = \frac{\xi}{\rho}, \ \rho$：线矩
Plucker坐标形式：$S=(\hat s;s_0)=(\hat s;r\times \hat s+h\hat s)=(L,M,N,P^,Q^,R^*)$
李代数形式: \(\left(\begin{matrix} [\hat s] & r\times \hat s+h\hat s \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)\) 对偶数形式:$S=\hat s+\in s_0$
单位线矢量：螺距为0的旋量
旋量的互易积： \(\xi_1 \circ \xi_2=\xi^T\Delta \xi_2;\ \ \Delta =\left(\begin{matrix} 0 & I_{3\times 3} \\ -I_{3\times 3} & 0 \end{matrix}\right)\) \(\Delta \Delta = I;\ \Delta^{-1}=\Delta;\ \Delta^T = \Delta\) 互矩：$M_{12}=\xi_1^T\Delta \xi_2=\rho_1\rho_2[(h_1+h_2)cos\alpha_{12}-a_{12}sin\alpha_{12}]$
互易旋量：$M_{12}=0$;自互易旋量(只有线矢量和偶量才是)$M_{11}=0$
运动旋量
射线坐标$S\left(\begin{matrix} \omega \ v \end{matrix}\right)$轴线坐标$S=\left(\begin{matrix} v\ \omega \end{matrix}\right)$
$h=\frac{\omega \cdot v}{\omega \cdot \omega};\ r=\frac{\omega \times v}{\omega \cdot \omega}$
力旋量：$S=\left(\begin{matrix}
f
m
\end{matrix}\right)$
力旋量和运动旋量的互易积为瞬时功
\[^A F=Ad_g\ ^B\!F;\ Ad_g=\left(\begin{matrix} ^A_BR & 0\\ ^A_B\hat t^A_BR & ^A_BR \end{matrix}\right)\]互易条件：两线矢量共面时互易；两个偶量永远互易；偶量与线矢量垂直时互易；线矢量与偶量永远自互易
线几何与旋量系
旋量系/线矢量系/偶量系的维度就是该系作用在原点上有几个自由度（我的理解）。旋量系和线矢量系最大有六个维度，偶量系有三个
旋量相关性的定义：旋量相关性的定义:当有$n$个旋量$S_i，i=1,2…n,$ 旋量线性相关时必可找到一组不全为零的数$\omega_i$，使得 \(\underset{n}{\sum}\omega_iS_i = 0\)
定理： 旋量系的相关性与坐标系的选择无关
与已知旋量系互易旋量系满足：
- 与此旋量系互易的线矢量，必须与所有偶量相垂直且与所有线矢量共面
- 与此旋量系互易的偶量必须与旋量系的所有线矢量垂直
自互易旋量系定义：若n阶旋量系S中的一组基可由n个自互易旋量线性组合而成，即 \(S_i^S = \underset{j=1}{\overset{n}{\sum} }k_{ij}S_j, \ (\S_i^S)^T \Delta S_i^S = 0\) 则称S为n阶自互易旋量系。 如果n阶旋量系中存在一组由n条线性无关的线矢量组成的基旋量，则该旋量系即可构成一个直线旋量系（line screw system）。更特殊的情况下，旋量系中所有元素都由线矢量组成，则该旋量系构成线系（line system）；如果旋量系中所有元素均为偶量，则称该旋量系为偶量系（couple system）。
旋量系能够表征机构或机器人末端执行器位形的瞬时运动，当位形发生改变或者自由度发生变化时，一般情况下，旋量系或者旋量系的阶数也将随之发生变化。这实际上反映了一般旋量系所具有的瞬时特性。
还存在一类特殊旋量系即所谓的“不变旋量系”（invariant screw systems），这类旋量系所表征的运动具有连续性。只要旋量系的形式不发生改变，就可以实现大范围的运动。
不变旋量系的一个重要特性是旋量系中各旋量的顺序无关紧要，所反映的一个物理意义是运动副的连接顺序并不影响机构的相对运动。而这一特性正好反映了位移子群的某种特征，并且可以看出不变旋量系（李子代数）与位移子群具有一一映射的关系。
互易旋量系的定义：有一个旋量系$S={S_1,S_2,…,S_n}$，必然存在一个(6-n)阶的互易旋量系（或反旋量系）$S^r = {S_1^r,S_2^r,…,S_{6-n}^r}$，该旋量系由（6-n）个与S中所有旋量都互易的旋量组成。
互易旋量系的解析求解：1. Gram-Schmidt法 2. 零空间法
机构的自由度
机构的自由度（Degree of freedom）指的是机构具有的独立运动数目，也是确定机构系统位形所需的独立变量或广义坐标数，用0到6的整数表示。
机构的活动度或运动度（Mobility）则是对自由度更为详细的解释，比如机构具有3个自由度，那么这3个自由度是什么？是转动还是移动，如果是移动，移动方向是什么？如果是转动，转动的轴线在哪里？活动度包含了这些详细的运动信息。
自由度 (Degree of Freedom - DOF)： 物体所具有的独立运动的数目(或确定构件位置的独立参变量的数目) 。3维空间自由物体具有6个自由度。
机器人的自由度：机器人末端坐标系相对于基坐标系的独立运动维数。
机构的公共约束：与机构中的每个运动旋量都互易的约束旋量称为机构的公共约束（common constraint）。存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动
并联机构的公共约束：各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约束力偶应同向）。
机构的阶：机构运动旋量系的阶（Rank），机构所有构件允许的运动维数。机构的阶 + 公共约束数 = 6
【冗余约束】：由于机构中一部分运动副（不是全部）间满足某 种特殊的几何条件，使其中的有些约束对机构的运动不产生作用， 不起作用的约束称为冗余约束（redundant constraint）。冗余约 束实质上存在于去除公共约束后，机构中剩下的约束旋量数大于 所组成旋量系阶数的情况（部分场合称为虚约束）。 • 【过约束】：公共约束与冗余约束统称为过约束 （overconstraint），相应的机构称之过约束机构（overconstraint mechanism）。 求法：当除去公共约束后，其余的t个约束构成一个k系旋量，如 果k<t，则存在冗余约束，也就是约束个数大于最大无关数。
【局部自由度】：某些构件中存在的局部的并不影响其他构件尤其输 出构件运动的自由度为局部自由度（passive DOF或idle DOF）。平 面机构中，典型的局部自由度出现在滚子构件中；空间机构中，如运 动副S-S、S-E、E-E等组成的运动链中就各存在1个局部自由度。
环路形式自由度公式/修正的Grubler-Kutzbach公式
